Lien entre les coordonnées d'un vecteur et celles d'un point

Définition

Soit \(\text O\) un point et \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) une base du plan.
Le triplet \(\left( \text O~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) forme un repère du plan. Le point \(\text O\) est appelé origine du repère.

Si la base \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) est orthonormée, on dit que le repère \(\left( \text O~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) est orthonormé.

Propriété

Soit \((\text{O}~,\text{I}~, \text{J})\) un repère du plan. On pose \(\overrightarrow{i}=\overrightarrow{\text{OI}}\) et \(\overrightarrow{j}=\overrightarrow{\text{OJ}}\).
Soit \(\overrightarrow{u}\) un vecteur du plan de coordonnées \(\begin{pmatrix} \color{green} x \\ \color{red} y \\ \end{pmatrix}\) dans la base \(\left( \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\).
Alors il existe un unique point \(\text M\) tel que \(\overrightarrow{\text{OM}}=\overrightarrow{u}\).
On a alors \(\text M\left( \color{green}{x} ; \color{red}{y} \right)\).

Remarque

Soit \(\left( \text O~; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) un repère du plan. Les coordonnées d'un point \(\text A\) dans le repère \(\left( \text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) sont les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\text{OA}}\) dans la base \(\left(\overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\).

Exemple
On considère le repère orthonormé \(\left(\text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) ci-dessous.
Les coordonnées du point \(\text A\) dans le repère \(\left(\text O~ ; \overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) sont \(\left( \color{green}{5}~ ; \color{red}{3} \right)\).
Les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{\text{OA}}\) dans la base \(\left(\overrightarrow{i} , \overrightarrow{j} \right)\) sont \(\begin{pmatrix} \color{green} 5 \\ \color{red} 3\\ \end{pmatrix}\).